Тип 1 (К.Поляков)
Восемь школьников оставались в классе на перемене, и один из них разбил окно. На вопрос директора, кто это сделал, были получены следующие ответы:
Егор: «Разбил Андрей»!
Света: «Вика разбила»!
Оля: «Разбила Света».
Миша: «Это кто-то с улицы»!
Надя: «Да, Оля права».
Коля: «Это либо Вика, либо Света»!
Андрей: «Ни Вика, ни Света этого не делали»!
Вика: «Андрей не бил»!
Кто
разбил окно, если известно, что из этих высказываний истинно ровно три. Ответ
запишите в виде первой буквы имени.
1)
заметим, что по условию высказывание Миши («Это
кто-то с улицы») заведомо ложно, поскольку окно разбил кто-то из
перечисленных детей, поэтому его можно вообще не учитывать
2)
проще всего решить эту задачу с помощью таблицы;
в первом столбце запишем все высказывания, а в остальных будем отмечать,
истинно высказывание или ложно (1 или 0), если окно разбил ученик, имя которого
записано в заголовке столбца
3)
например, если предположить что окно разбил
Егор, получается так:
Егор
|
|
Разбил Андрей
|
0
|
Разбила Вика
|
0
|
Разбила Света
|
0
|
Оля права = Разбила Света
|
0
|
Разбила Вика или Света
|
0
|
Это не Вика и не Света
|
1
|
Это не Андрей
|
1
|
видим, что истинны
только два высказывания, а не три (как нужно по условию); следовательно, это не
Егор
4)
строим таблицу для случаев, предполагая, что
окно разбила Света, затем – Оля и т.д.:
Егор
|
Света
|
Оля
|
Миша
|
Надя
|
Коля
|
Андрей
|
Вика
|
|
Разбил Андрей
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
Разбила Вика
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
Разбила Света
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
Оля права = Разбила Света
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
Разбила Вика или Света
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
Это не Вика и не Света
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
Это не Андрей
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
5)
только в последнем столбце ровно три единицы
(три высказывания истинны), поэтому окно разбила Вика
6)
таким образом, ответ – В.
Тип 2
Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на математической олимпиаде 4 первых места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:
1.Сергей – первый, Роман – второй;
2.Сергей – второй, Виктор – третий;
3.Леонид – второй, Виктор – четвертый.
Известно, что в каждом ответе только одно утверждение истинно. Как распределились места?
Решение.
Рассмотрим простые высказывания:
S1={Сергей занял первое место};
R2={Роман занял второе место};
S2={Сергей занял второе место};
V3={Виктор занял третье место};
L2={Леонид занял второе место};
V4={Виктор занял четвертое место}.
На языке алгебры логики ответы ребят можно записать следующим образом:
S1+ R2=1,
S2 + V3=1,
L2+ V4=1.
Конъюнкция истинных высказываний истинна. Следовательно, имеет место равенство:
(S1 + R2)&(S2 + V3)&(L2 + V4)=1
Преобразуем левую часть этого равенства:
(S1 & S2 + S1 & V3 + R2 & V3 + R2 & S2)&(L2 + V4)=1
(S1& (S2 + V3) & (L2 + V4) + R2 & (S2 + V3) & (L2 + V4)=1
(S1 & S2) + (S1 & V3) + (L2 & V4) + (R2 & S2) + (R2 & V3) + (L2 & V4)=1
Заметим, что
S1 & S2=0, так как Сергей не может одновременно занимать первое или второе места.
R2 & S2=0, так как второе место принадлежит одному из ребят.
0 + (S1 & V3) & (L2 + V4) + 0 + (R2 & V3) & (L2 + V4)=1
(S1 & V3) & (L2 +V4) + (R2 & V3) & (L2 + V4) = (S1 & V3 +R2 & V3) &
& (L2 + V4)
Значит,
(S1 & V3 + R2 & V3) & (L2 + V4)=1
Раскроем скобки:
S1 & V3 & L2 +S1 & V3 &V4+R2 & V3 & L2 + R2 & V3 & V4=1
Заметим,что
V3 & V4=0
R2 & L2=0
Следовательно,
S1 & V3 & V4=0,
R2 & V3 & V4=0,
R2 & V3 & L2=0.
Далее получаем:
S1 & V3 & L2 + 0 + 0 + 0 =1
S1 & V3 & L2=1
Другими словами, места на олимпиаде распределились так:
Сергей – 1-е место,
Леонид – 2-е место,
Виктор – 3-е место,
Роман – 4-е место.
Комментариев нет:
Отправить комментарий